8. Sınıf Matematik dersinin bu temasında öğrencilerin üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi üçgen eşitsizliği olarak ifade edebilmeleri, üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiyi yorumlayabilmeleri, üçgenlerde eşlik şartlarını ifade edebilmeleri, benzer şekiller arasındaki ilişkiyi yorumlayabilmeleri, benzerlik oranını belirleyerek çokgenlerin benzerliğini ifade edebilmeleri ve dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi yorumlayabilmeleri amaçlanmaktadır.
Türkiye Fen Liseleri Taban Puanları için sayfamızı takip ediniz.
8. SINIF MATEMATİK DERSİ
3.Tema: Geometrik Şekiller
ÖĞRENME ÇIKTILARI VE SÜREÇ BİLEŞENLERİ
MAT.8.3.1. Matematiksel araç ve teknoloji yardımıyla üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiyi yorumlayabilme
a) Üçgenin kenar ve açı özelliklerini inceler.
b) Üçgenin kenar uzunluklarının büyüklüğüne göre açıların ölçülerini, açıların ölçülerinin büyüklüğüne göre kenar uzunluklarını sıralar.
c) Üçgenin kenar uzunlukları ve açı ölçüleri arasındaki ilişkiyi ifade eder.
MAT.8.3.2. Matematiksel araç ve teknoloji yardımıyla üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiye yönelik çıkarım yapabilme
a) Üçgen oluşturabilen üç doğru parçasının uzunluklarına dair varsayımda bulunur.
b) Varsayımda bulunduğu doğru parçaları ile oluşturduğu üçgenleri listeler.
c) Üçgen oluşturan doğru parçalarının uzunlukları ile varsayımlarını karşılaştırır. ç) Üçgen oluşturan doğru parçalarının uzunlukları arasındaki ilişkiye dair önerme sunar.
d) Sunduğu önermenin katkısına yönelik gerekçeler sunar.
MAT.8.3.3. Bir üçgene eş üçgen oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair çıkarım yapabilme
a) Bir üçgene eş üçgen oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair varsayımda bulunur.
b) Matematiksel araç ve teknoloji yardımıyla varsayımlarına uygun üçgenler oluşturur.
c) Oluşturduğu üçgenleri varsayımları ile karşılaştırır.
ç) Bir üçgene eş üçgen oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair önerme sunar.
d) Önermesinin iki üçgenin eş olup olmadığını incelemeye yönelik katkısını değerlendirir.
MAT.8.3.4. Bir üçgene benzer üçgen oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair çıkarım yapabilme
a) Bir üçgene benzer üçgen oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair varsayımda bulunur.
b) Matematiksel araç ve teknoloji yardımıyla varsayımlarına uygun benzer üçgenler oluşturur.
c) Oluşturduğu üçgenleri varsayımları ile karşılaştırır.
ç) Bir üçgene benzer üçgen oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair önerme sunar.
d) Önermesinin iki üçgenin benzer olup olmadığını incelemeye yönelik katkısını değerlendirir.
MAT.8.3.5. Kenar uzunlukları a2+ b2= c2 eşitliğini sağlayan üçgenleri oluşturarak dik üçgen olduklarını; dik üçgenlerde dik kenar uzunluklarının kareleri toplamının hipotenüs uzunluğunun karesine eşit olduğunu yorumlayabilme
a) a2+ b2= c2 eşitliğini sağlayan rasyonel sayıları inceler.
b) Kenar uzunlukları a2+ b2= c2 eşitliğini sağlayan üçgeni oluşturarak dik üçgen olduğunu; dik üçgenlerde hipotenüs uzunluğunun karesinin diğer iki kenarın uzunluklarının kareleri toplamına eşit olduğunu belirler.
c) Pisagor bağıntısını üçgende açı-kenar ilişkisi ve üçgen eşitsizliği ile ilişkilendirerek dar açılı ve geniş açılı üçgenlerdeki kenar uzunluklarının ilişkisini ifade eder.
MAT.8.3.6. Üçgende açı-kenar ilişkisi, üçgen eşitsizliği ve Pisagor bağıntısını içeren problemleri çözebilme
a) Üçgende açı-kenar ilişkisi, üçgen eşitsizliği ve Pisagor bağıntısını içeren problemde ilgili matematiksel bileşenleri (açıların ölçüsü, kenarların uzunluğu, şekil gibi) belirler.
b) Matematiksel bileşenler arasındaki ilişkileri belirler.
c) Problem bağlamındaki temsilleri farklı temsillere dönüştürür.
ç) Matematiksel temsillere dönüştürdüğü problemi kendi ifadeleri ile açıklar.
d) Problemin çözümünü gerçekleştirmek için stratejiler geliştirir.
e) Belirlenen stratejileri çözüm için uygular.
f) Çözüm yollarını kontrol eder ve çözüme ulaştırmayan stratejiyi değiştirir.
g) Problemin çözümü için kullandığı stratejileri gözden geçirerek kısa yolları değerlendirir.
ğ) Kullandığı strateji veya stratejileri farklı problemlerin çözümlerine geneller.
h) Genellemenin geçerliliğini matematiksel örneklerle değerlendirir.
Anahtar Kavramlar
benzerlik, benzerlik oranı, eşlik, hipotenüs, Pisagor bağıntısı, üçgen eşitsizliği
Öğretme-Öğrenme Uygulamaları
MAT.8.3.1
Öğrencilerden matematiksel araç ve teknolojiden (cetvel, ölçüsüz cetvel, gönye, açıölçer,
pergel, geometri şeritleri, geometri tahtası, matematik yazılımı gibi) yararlanarak kenar
uzunlukları farklı üçgenler oluşturmaları istenir (MAB5, OB2). Üçgenlerin kenar uzunluklarını ve açılarını ölçerek ölçme sonuçlarını tablo temsili yardımıyla düzenlemeleri ve
karşılaştırmaları beklenir (MAB3). Öğrencilerin üçgenlerin açı ölçüleri ile bu açıların karşısındaki kenarların uzunlukları arasında bir ilişki olup olmadığını üçgen çeşitleri üzerin-
den tartışmaları sağlanır. Ölçüsü büyük olan açının karşısında uzun kenar, küçük olanın
karşısında kısa kenar olduğuna yönelik ilişkiyi ifade etmeleri beklenir. Ayrıca dik ve geniş
açılı üçgenlerde öğrencilerin dik açının ve geniş açının karşısındaki kenarın en uzun kenar
olduğunu açıklamaları sağlanır. Öğrencilerin üçgende açı-kenar ilişkisini yorumlamalarına yönelik açık uçlu sorulardan oluşan çalışma kâğıdı kullanılabilir.
MAT.8.3.2
Öğrencilerin bir üçgen oluşturabilmek için kenar uzunluklarının ne olması gerektiğine yönelik varsayımlarda bulunmaları (4cm-5cm-6cm, 3cm-3cm-7cm gibi) beklenir. Varsayımda bulundukları kenar uzunluklarından hareketle pergel, cetvel, geometri şeritleri yardımıyla (veya matematik yazılımı aracılığıyla (OB2)) üçgenler oluşturmaları istenir (E3.11). Üçgen oluşan ve oluşmayan durumlardaki doğru parçalarının uzunluklarını tablo temsili (MAB3) aracılığıyla listelemelerine ve karşılaştırmalarına fırsat verilir. İki kenar uzunluğu verildiğinde, üçgen oluşturabilmek için üçüncü kenar uzunluğunun alabileceği değerlerin öğrenciler tarafından sorgulanması beklenir. Belirli uzunluktaki doğru parçalarının neden üçgen oluşturmadığı üzerine tartışma yapmaları sağlanır (E3.8). Süreçte öğrencilerin somut veya sanal manipülatiflerden yararlanmalarına fırsat verilebilir (MAB5).
Üçgende bir kenar uzunluğunun diğer iki kenar uzunluğunun farkı ve toplamı ile ilişkili olduğuna yönelik önerme sunmaları beklenir. Bir üçgende herhangi bir kenar uzunluğunun diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük; farkının mutlak değerinden büyük olması gerektiğini ifade etmeleri sağlanır. Bu eşitsizliğin “üçgen eşitsizliği” olarak ifade edildiği vurgulanır. Öğrencilerin üçgen eşitsizliğine yönelik çıkarımlarını, üçgende açı-kenar ilişkisi ile birlikte yorumlayarak üçgenlerin kenar uzunluklarının değerlendirilmesinde kullanabileceğini ifade etmeleri beklenir. Örneğin iki kenar uzunluğu ve aralarındaki açının ölçüsü verilen bir üçgen çizildiğinde üçüncü kenar uzunluğunun yorumlanması istenebilir (OB4). Öğrenme çıktısının değerlendirilmesinde üçgenin temel elemanları arasındaki ilişkiye yönelik açık uçlu sorulardan oluşan çalışma kâğıdı kullanılabilir.
MAT.8.3.3
Paralelkenarda köşegenin meydana getirdiği iki üçgenin veya bir doğruya göre simetrik üçgenlerin kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkilerin öğrenciler tarafından sorgulanması sağlanır. Öğrencilerin öğretmen tarafından gizli tutulan bir üçgene eş bir üçgen oluşturabilmek için üçgene ilişkin hangi elemanların bilinmesinin yeterli olduğunu tartışmaları için uygun öğrenme ortamı oluşturulur. Tartışmalar sonucunda, öğrencilerin eş bir üçgeni oluşturabilmek için hangi özelliklerin bilinmesinin yeterli olduğuna dair varsayımlarda (“Bir üçgende üç kenar uzunluğunun bilinmesi eş üçgenler oluşturmak için ye- terlidir.” gibi) bulunmalarına fırsat verilir. Varsayımları doğrultusunda uygun matematiksel araç ve teknolojiler yardımıyla eş üçgenleri oluşturmaları istenir (MAB5). Oluşturulan üçgenlerin başlangıçtaki üçgen (gizli tutulan üçgen) ile eş olup olmadıklarını inceleyerek varsayımlarını değerlendirmeleri beklenir. Bu aşamada, oluşturulan üçgenin gizli tutulan üçgenle çakışıp çakışmadığının incelenmesine fırsat verilir. İncelemeler sonucunda, varsayımlarını gözden geçirmeleri ve verilen bir üçgene eş üçgenler oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair önermeler sunmaları ve tartışmaları sağlanır (SDB2.1).
Öğrencilerin “Üç kenar uzunluğu ile tek bir üçgen oluşturulur.” gibi önermeler sunmaları beklenir. Eşlik sembolü ( = ) tanıtılır ve eş üçgenlerin temsil edilmesinde karşılıklı elemanlarının dikkate alındığı vurgulanır. Öğrencilerin iki üçgenin eş olup olmadığına dair tartışma süreçlerinde önermelerinin rolünü değerlendirmeleri beklenir. Örneğin öğrencilerin bir ikizkenar üçgende farklı uzunluktaki kenara ait kenarortayın neden aynı zamanda yükseklik olduğunu eş üçgenlerden yararlanarak değerlendirmelerine fırsat verilir. Öğrenme çıktısının değerlendirilmesinde farklı soru türlerinden oluşan izleme testi kullanılabilir.
MAT.8.3.4
Öğrencilerin günlük yaşamdan çeşitli örnekleri (fotokopi makinesinde küçültülmüş veya büyütülmüş şekiller, matruşka gibi) ele alarak benzerlik üzerine tartışmaları ve kenar uzunlukları arasındaki orantısal ilişkileri sorgulamaları sağlanır. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar uzunlukları oranının eşit olduğu ve karşılıklı açıların eş olduğunun fark edilmesi beklenir. Söz konusu oran “benzerlik oranı” olarak tanıtılır. Benzerlik oranının 1 (bir) olması durumunda elde edilen üçgenlerin özelliklerini tartışmalarına ve eş üçgenlerin aynı zamanda benzer olduklarının farkına varmalarına fırsat verilir. Öğrencilerin öğretmen tarafından gizli tutulan bir üçgene benzer bir üçgen oluşturabilmeleri için üçgenin hangi elemanlarının bilinmesinin yeterli olduğuna yönelik tartışmaları istenir (SDB2.1). Tartışma sonucunda, öğrencilerin benzer bir üçgeni oluşturabilmek için hangi özelliklerin bilinmesinin yeterli olduğuna yönelik varsayımlarda (“Üçgenin üç kenarının uzunluğunu bilmek benzer üçgen oluşturmak için yeterlidir.” gibi) bulunmaları sağlanır. Varsayımlarından hareketle uygun matematiksel araç ve teknoloji yardımıyla benzer üçgenler oluşturmaları istenir (MAB5). Öğrencilerin oluşturdukları üçgenlerin başlangıçtaki üçgen (gizli tutulan üçgen) ile benzer olup olmadıklarını inceleyerek varsayımlarını gözden geçirmeleri sağlanır. Oluşturulan üçgenin kenar uzunluklarının, gizli tutulan üçgenin kenar uzunluklarıyla orantılı olup olmadığı incelenir. İncelemeler sonucunda, başlangıçtaki üçgene benzer üçgenler oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair önermeler sunmaları hedeflenir. Bu süreçte öğrencilerin “Benzer üçgen oluşturabilmek için üçgenin iki açısının ölçüsünü bilmek yeterlidir.”, “İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsünü bilmek yeterlidir.” gibi önermeler sunmaları beklenir. Verilen iki üçgenin benzer olup olmadığını incelerken üçgenlerin özellikleriyle ilgili hangi bilgilere sahip olmalarının yeterli olacağına dair tartışma yapmaları için uygun öğrenme ortamı oluşturulur. Tartışma sonunda önermelerinin benzer üçgenlerin karşılıklı elemanlarının incelenmesine yönelik katkısını değerlendirmeleri sağlanır. Örneğin öğrenciler ikişer açısı eş olan iki üçgenden birinin tüm kenarlarının uzunluklarını ve diğerinin bir kenar uzunluğunu bilmeleri durumunda ikinci üçgenin diğer kenar uzunluklarını nasıl belirleyeceklerini değerlendirebilirler. Ayrıca iki paralel doğru ve iki kesenle oluşan üçgen çiftinde (iki kesenin paralel olmadığı durumlarda oluşan üçgenler) kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi değerlendirmelerine fırsat verilir. Benzerlik sembolü (~) tanıtılır ve benzer üçgenlerin sembolik olarak temsil edilmesinde karşılıklı köşe noktalarının dikkate alındığı vurgulanır (MAB3). Üçgenler dışında karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenar uzunlukları oranı eşit olan diğer çokgenleri de inceleyerek bu çokgenleri benzer çokgenler olarak ele almalarına fırsat verilir. Benzerlik oranı 1 (bir) olan benzer çokgenleri özel olarak eş çokgenler olarak ifade etmeleri sağlanır. Öğrencilerin bir üçgene benzer üçgenler oluşturmaya yönelik deneyimlerini değerlendirmek için açık uçlu sorulardan oluşan çalışma kâğıdı kullanılabilir.
MAT.8.3.5
Sınıfta tartışma ortamı oluşturularak öğrencilerin a2+ b2= c2 eşitliğini sağlayan rasyonel sayıları belirlemeye dönük tahmin-kontrol süreçlerini (KB2.12) ve tablo temsillerinin kullanımını (MAB3) içeren çalışmalar yapmalarına fırsat verilir. Bu süreçte çalışmalarını doğal sayılardan rasyonel sayılara doğru genişletmeleri sağlanır. Böylelikle “sayılar ve nicelikler” teması ile disiplin içi ilişkilendirme yapılır. Bu aşamada sınıf mevcuduna bağlı olarak grup çalışmalarından yararlanılabilir (SDB2.2). Belirlenen sayılar tüm öğrenciler tarafından değerlendirilerek doğruluğu test edilir. Yapılan incelemeler sonucunda ortaya çıkan sayı grupları listelenerek kaydedilir. Daha sonra öğrencilerin matematiksel araç (geometri şeritleri, cetvel, pergel gibi) veya teknolojiden (matematik yazılımında çember ve belirli uzunlukta doğru parçası oluşturma araçları gibi (OB2)) yararlanarak a2+ b2= c2 eşitliğini sağlayan kenar uzunluklarına sahip üçgenleri oluşturmaları ve açıölçer yardımıyla (veya matematik yazılımında açı ölçme aracını kullanarak (OB2)) üçgenlerin dik açıya sahip olduklarını belirlemeleri sağlanır (MAB5). Öğrencilerin listeledikleri rasyonel sayı gruplarını değerlendirerek kenar uzunlukları a2+ b2= c2 eşitliğini sağlayan üçgenlerin dik üçgenler olduğunu ifade etmeleri beklenir. Dik üçgende dik açının karşısındaki kenar “hipotenüs” olarak tanıtılır. Öğrencilerin gönye yardımıyla dik kenar uzunlukları rasyonel sayılar olan dik üçgen çizmeleri ve hipotenüs uzunluğunun, dik kenar uzunluklarının kareleri toplamının kareköküne eşit olduğunu belirlemeleri sağlanır. Çizilen farklı dik üçgenlerde, dik kenar uzunluklarının kareleri toplamının karekökü irrasyonel sayı olur ise sayının ondalık gösteriminin belirlenmesi için fiziksel veya çevrim içi hesap makinelerinden yararlanılabilir (MAB3). Dik üçgenlere ilişkin bu bağıntının “Pisagor bağıntısı” olarak isimlendirildiği belirtilir. Öğrencilerin dar ve geniş açılı üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki ilişki üzerine tartışmaları sağlanır. Bu tartışma sürecinde a2+ b2= c2 eşitliğini kullanarak nasıl akıl yürütebileceklerini sorgulamalarına fırsat verilir. Tartışma sonunda dar açılı üçgenlerin kenar uzunluklarında a2+ b2> c2, geniş açılı üçgenlerin kenar uzunluklarında ise a2+ b2< c2 şartının geçerli olduğunu fark etmeleri beklenir. Öğrencilerin öne sürülen kenar uzunluklarına sahip üçgenleri oluşturarak açılarını değerlendirmeleri sağlanır (OB4).
Öğrenme çıktısının değerlendirilmesinde farklı soru türlerinden oluşan izleme testi kullanılabilir. Ayrıca öğrencilere grup çalışması (SDB2.1) ile iş birliği içerisinde (SDB2.2) Pisagor’un hayatının, çalışmalarının ve Pisagor bağıntısının keşfinin araştırıldığı bir performans görevi verilebilir. Öğrencilerin performans görevinde ulaştıkları bilgileri dijital araçlar ile arkadaşlarına sunmaları sağlanabilir (E2.5, OB2). Performans görevi bilgi toplama, bilgiyi analiz etme, sunum hazırlama gibi kriterleri barındıran analitik dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilir. Grup çalışmaları öğrencilerin kendi çalışmaları hakkında yargıda bulunabilecekleri (SDB1.3) öz değerlendirme formu ile arkadaşlarının çalışmaları hakkında görüşlerini belirtebilecekleri (SDB2.2) akran değerlendirme formu ile değerlendirilerek öğrencilerin kişisel ve grup içi etkinliklerdeki sorumluluklarını yerine getirme becerilerinin geliştirilmesi beklenir. Yapılan grup içi etkinliklerle öğrencilerin çalışkanlık değerini kazanmaları desteklenmiş olur (D3.4).
MAT.8.3.6
Öğrencilerin üçgende açı-kenar ilişkisi, üçgen eşitsizliği ve Pisagor bağıntısı ile ilgili problemlerde ilgili matematiksel bileşenleri (açıların ölçüsü, kenarların uzunluğu, şekil gibi) ve problemlerin çözümünde matematiksel bileşenler arasındaki ilişkileri belirlemeleri istenir. Bu süreçte öğrencilerin problem bağlamındaki temsilleri farklı temsillere dönüştürmelerine ve problemi kendi ifadeleriyle açıklamalarına fırsat verilir. Ayrıca problemlerin çözümüne yönelik stratejiler geliştirmeleri ve çözüm için stratejileri uygulamaları sağlanır. Bu süreçte problemin çözümünde bir geometrik şekil içerisindeki yapıları fark etme, şekil içinde farklı geometrik şekiller oluşturma veya şekli parçalara ayırma, geometrik şekilleri ilişkilendirmek için ek çizimler yapma ve simetriden yararlanma gibi farklı stratejilerin kullanımı teşvik edilir. Öğrencilerin problem çözümlerinin ardından çözüm yollarını kontrol ederek çözüme ulaştırmayan stratejiyi değiştirmeleri istenir. Ayrıca stratejilerini gözden geçirmeleri de istenerek kısa yollara ilişkin çıkarımlar ve değerlendirmeler yapmaları beklenir. Bu değerlendirmeler esnasında bazı problemlerin birden fazla çözümünün olabileceğini fark etmelerine ve esnek düşünme becerilerini kullanmalarına fırsat veren öğrenme ortamı oluşturulur. Öğrencilerden problemin çözümünde kullandıkları stratejilerin hangi tür problemlerde kullanılabileceğine dair genelleme yapmaları, genelleme yaparken de kullanılan stratejinin ve elde edilen sonuçların diğer şekiller için de geçerli olup olmadığını belirlemeleri sağlanır. Üçgende açı-kenar ilişkisi, üçgen eşitsizliği ve Pisagor bağıntısına ilişkin problemleri içeren çalışma kâğıdı kullanılabilir.
Millî Eğitim Bakanlığı: https://meb.gov.tr
