8. Sınıf Matematik dersinin bu temasında öğrencilerin üslü ifadelere, özelliklerine ve üslü ifadelerle yapılan işlemlere ilişkin çıkarım yapabilmeleri, kareköklü ifadeler ile ilgili muhakeme yapabilmeleri, sayıların rasyonel ya da irrasyonelliğini değerlendirebilmeleri, gerçek sayıları ve aralıklarını sayı doğrusunda yorumlayabilmeleri amaçlanmaktadır.
Türkiye Fen Liseleri Taban Puanları için sayfamızı takip ediniz.
8. SINIF MATEMATİK DERSİ
1.Tema: Sayılar ve Nicelikler
ÖĞRENME ÇIKTILARI VE SÜREÇ BİLEŞENLERİ
MAT.8.1.1. Farklı bağlamlardaki üslü ifadelere, özelliklerine ve üslü ifadelerle yapılan işlemlere ilişkin çıkarım yapabilme
a) Karşılaştığı bağlamlardaki üslü ifadeler, özellikleri ve üslü ifadelerle yapılan işlemlere yönelik varsayımlarda bulunur.
b) Üslü ifadeleri, özelliklerini ve üslü ifadelerle yapılan işlemleri inceleyerek genellemeleri belirler.
c) Ulaştığı genellemelerin varsayımını karşılayıp karşılamadığını örnekler ve çeşitli temsiller (şekil ve tablo gibi) ile sınar.
ç) Üslü ifadelere, özelliklere ve üslü ifadelerle işlem yapmaya ilişkin önermeleri sözlü ve cebirsel olarak sunar.
d) Sunduğu önermelerin matematiksel süreçlere katkısını sözlü olarak açıklar.
MAT.8.1.2. Karşılaştığı problem durumlarında kareköklü ifadeler ile ilgili muhakeme yapabilme
a) Bir karenin alanı ile kenar uzunluğu arasındaki ilişkiyi belirler.
b) Karenin alanından hareketle tam kare pozitif tam sayılar ile kareköklerini ilişkilendirir.
c) Tam kare olmayan pozitif bir sayının karekökünün hangi iki doğal sayı arasında olduğunu ve yaklaşık değerini matematiksel temsillerle (sayı doğrusu, şekil, tablo gibi) ifade eder.
ç) Bir sayının karekökünü kendi ifadeleri ile açıklar.
MAT.8.1.3. Sayıların rasyonel ya da irrasyonelliğini değerlendirebilme
a) Sayıların rasyonel ya da irrasyonel sayılar olup olmadığına ilişkin ondalık gösterimlerini ölçüt olarak belirler.
b) Sayıların ondalık gösterimlerini bölme işlemi ya da hesap makinesi kullanarak elde eder.
c) Elde ettiği ondalık gösterimi ölçütü ile karşılaştırır.
ç) Karşılaştırmalarından hareketle bir sayının rasyonel olup olmadığına yönelik yargıda bulunur.
MAT.8.1.4. Gerçek sayıları ve aralıklarını sayı doğrusunda yorumlayabilme
a) Doğal sayılardan başlamak üzere tüm gerçek sayıları ve sayılar arası ilişkileri inceler.
b) Gerçek sayıları sayı doğrusuna yerleştirir.
c) Gerçek sayı aralıkları arasındaki ilişkiyi açıklar.
Anahtar Kavramlar
gerçek sayılar, irrasyonel sayılar, kareköklü ifadeler, üslü ifadeler
Öğretme-Öğrenme Uygulamaları
Bu sınıf düzeyinde üslü ifadeler tabanı rasyonel sayı ve kuvveti tam sayı olan yapılarla sınırlandırılır. Öğretme-öğrenme sürecinde tabanı tam sayı olan üslü ifadelerden başlanarak, paydası 1 olmayan rasyonel sayıların kuvvetleri ele alınır. Öğrencilerin küresel ısınma, nüfus tahmini, radyoaktif atıklar, enflasyon oranları, hücre bölünmesi, bakterilerin çoğalması, teknolojik araçların hafıza kartlarına ait veri boyutları (kilobayt ve megabayt), doğal afetler (depremin şiddetini ölçme) gibi gerçek yaşam problemlerinde üslü ifadeleri incelemeleri sağlanır (SDB2.3). Depremin şiddetinin ele alındığı problemlerde doğal afetlerin her an her yerde gerçekleşebileceğine vurgu yapılarak duyarlılık değeri desteklenebilir (D5.3).
Ele alınan bu problemler aracılığıyla fen bilimleri ve sosyal bilgiler dersleri ile ilişkilendirme yapılabilir. Ayrıca üslü ifadeler ile sayıyı 10’un kuvvetlerini kullanarak çözümleme, bir pozitif tam sayının asal çarpanlarını bulma ve bu çarpanlardan tam sayıyı elde etme gibi matematiksel süreçler ile ilişkilendirmeleri sağlanır. Öğrencilerin karşılaştıkları bu durumlarda öncelikle üslü ifadeler ve özelliklerine yönelik varsayımlar oluşturmaları istenir (“an ifadesinde n tane a çarpılır.” gibi). Ayrıca öğrencilerin verilen durumlardaki üslü ifadelerin taban ve kuvvetini incelemelerinde ortaya çıkabilecek sonuca ulaştıran ya da ulaştırmayan varsayımları da incelemeleri sağlanır (“Üs büyüdükçe her zaman sayının değeri büyür/ büyümez” gibi). Bu süreçte sonuca ulaştıran varsayımlar ile devam edilmesi beklenir. Öğrencilerin gerçek yaşam problemlerini (hücre bölünmesinden yola çıkarak zamana bağlı hücre sayısındaki değişimi inceleme gibi) inceleyerek oluşturdukları varsayımları örnekler üzerinde test etmeleri sağlanarak genellemelere ulaşmaları istenir.
Öğrencilerin bu problemler üzerinden genellemelerinin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını örnekler ve çeşitli temsiller (şekil ve tablo gibi) ile incelemeleri ve temsilleri yorumlamaları istenir (MAB3, OB4) (Örneğin başlangıç noktası 0 olan ve her bir saatte 9 kat hücrenin oluştuğunu gösteren zamana bağlı bir değişim tablosunun oluşturulması, zamanın sabit değişiminde ardışık hücre sayısı değerleri arasındaki 9 kat değişim oranının ifade edilmesi).
Böylece öğrencilerin varsayımları ile ilgili ulaştıkları sonuçlara yönelik doğrulayabilecekleri matematiksel önermeleri; tartışmaları ve sözlü ya da cebirsel olarak (an=a.a a, n tane
a gibi) sunmaları sağlanır. Tartışma sürecinde öğrencilerin duygu ve düşüncelerini açıkça ifade edebilecekleri öğrenme ortamları oluşturulur (SDB1.1). Bu süreçte öğrencilere duygu ve düşüncelerini açıkça ifade etme, arkadaşlarının duygu ve düşüncelerini anlamaya çalışma ve onların sunduğu önermelerdeki yeni bilgilere açık olma imkanı tanınarak (D4.2) eleştirel bakış açısıyla değerlendirebilmelerine (D3.3) fırsat verilebilir, böylece dostluk ve çalışkanlık değerlerinin kazanılması desteklenmiş olur.
Üslü ifadelerle işlemlere geçmeden önce öğrencilerin üslü ifadelerde bir sayının üssünün negatif ve 0 (sıfır) olmasının anlamına yönelik incelemeler gerçekleştirilir. Bunun için örüntülerden yararlanılır. Örneğin, öğrencilerden 33, 32, 31 ve 30 sonuçlarına ait 27, 9, 3, ve 1 örüntüsünden hareketle örüntünün nasıl devam edeceğine yönelik düşüncelerini ifade
etmeleri istenerek 30=1 ve 3-1 = -^-sonuçlarına ulaşmaları beklenir.
Bu incelemelerde bir sayının üssünün 0 (sıfır) ya da 1 olması gibi durumlarda ortaya çıkan değerlere yönelik önermeler oluşturmaları beklenir. Örneğin farklı sayıların ardışık tam sayı kuvvetleri incelenirken, öğrenciler “kuvvetin 0 (sıfır) olması 7durumunda ortaya çıkan değerlerin 1 olduğu” önermesini ifade edebilir. Ayrıca üslü ifadelerin değerinin hesaplanmasında (-a)n, -an, an, a-n gibi farklı durumların aynı değerlere sahip olup olmadığına yönelik incelemeler yapmaları sağlanır. Üslü ifadelerle yapılan işlemlere gerçek yaşamdan ilgi çekici problemler ile başlanır (E1.1) ve öğrencilerin işlemlere ilişkin varsayım oluşturmaları istenir (“Aynı tabana ait üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır, bölümünde ise üsler birbirinden çıkarılır; aynı üsse sahip üslü ifadeler ortak üs parantezine alınabilir; bir sayının üssünün üssünü almak üslerin çarpımını gerektirir.” gibi).
Öğrencilerin varsayımlarını çeşitli sayı cümleleri üzerinde deneyerek genellemelere ulaşmaları beklenir. Örneğin öğrenciler 35.32=(3.3.3).(3.3)=35 gibi örnekleri tekrarlı çarpma yaparak inceleyerek, “aynı tabana ait üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır” genellemesinde bulunabilir. Öğrencilerin genellemelerinin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını farklı rasyonel sayılar (pozitif veya negatif tam sayılar, paydası 1 olmayan rasyonel sayılar gibi) ile işlem yaparak sınar. Bu sürecin sonunda ulaştıkları genellemelere yönelik doğrulayabilecekleri matematiksel önermeleri sözlü ya da cebirsel olarak [ax.bx=(a.b)x gibi] sunmaları sağlanır.
Son olarak öğrencilerden sunduğu önermelerin matematiksel süreçlerde sağladığı katkısını (işlem kolaylığı sağlaması, tekrarlı çarpımların yazılmaması gibi) tartışmaları ve açıklamaları beklenir (SDB2.1). Ondalık gösterimi verilen sayıların 10’un tam sayı kuvvetleri kullanılarak çözümlenmesi ya da çözümlenmiş ifadeleri verilen sayıların ondalık gösterim şeklinde yazılmasına yönelik çalışmalar gerçekleştirilir. Bu çalışmalar ondalık gösterimi binde birler basamağına kadar olan sayılarla sınırlıdır ve bilimsel gösterime girilmez. Öğrencilere üslü ifadelerin özelliklerini açıklamalarını ve üslü ifadelerle işlem yapmayı gerektiren açık uçlu sorulardan oluşan bir çalışma kağıdı verilebilir. Öğrencilere yararlı veya zararlı bakterilerin araştırılmasına ve çoğalmasına yönelik bir performans görevi verilebilir.
Bu görev kapsamında bakterilerin çoğalma hızının zaman ve sıcaklık derecesine bağlı nasıl değiştiği incelenerek bakterilerin çoğalmasındaki etkili faktörler belirlenerek öğrencilerin sürdürülebilirliği, sürdürülebilir ve sürdürülebilir olmayan sistemleri anlamaları sağlanabilir (OB8). Grup çalışması (SDB2.2) olarak da planlanabilen bu görev sonucunda elde edilen bulguların sınıf içinde sunulması ya da poster (E3.3) olarak sergilenmesi istenebilir. Öğrencilere bir üslü ifadenin büyüklüğünü tahmin etme ve yaklaşık değerini belirlemeye yönelik açık uçlu sorulardan oluşan çalışma kâğıdı verilerek sayı doğrusundaki yerinin nasıl belirleneceği, hangi üslü ifadeler arasında olduğu sorulabilir. Grup çalışmaları sonunda öğrencilerin kendileri ve akranlarını değerlendirmeleri için öz değerlendirme ve akran değerlendirme formu kullanmaları sağlanabilir (SDB1.2).
MAT.8.1.2
Kenar uzunlukları verilen karenin alanının cebirsel olarak nasıl ifade edilebileceği tartışılır (SDB2.2). Ardından alanları tam kare olacak şekilde verilen çeşitli karelerin kenar uzunluklarının nasıl bulunacağını tartışmaları istenir. Öğrencilerin gerçek yaşam bağlamları üzerinden de örnekler (alanı verilen kare şeklindeki bir tarlanın bir kenar uzunluğunun bulunması gibi) verilebilir.
Farklı karelerin tam sayı kenar uzunluklarını, kenar uzunluklarının karelerini ve alanlarını içeren bir tablo oluşturularak, tablodaki sayılar arasındaki ilişkiler incelenir (MAB3). Böylece öğrencilerin tam kare pozitif tam sayılar ile bu sayıların karekökleri arasındaki ilişkileri ve sayının karekökünün negatif bir sayı olamayacağını fark etmeleri beklenir.
Bu örneklerin ardından tam kare olmayan bir sayının karekökü ele alınır, irrasyonel sayılar tanımlanır ve rasyonel sayılardan farkı tartışılır (SDB2.2). Öğrencilerden tam kare olmayan sayıların karekökünün hangi iki doğal sayı arasında olduğunu çeşitli temsillerle örneğin; sayı doğrusu, tablo, şekil (kare) incelenerek en yakın tam kare sayı dikkate alınarak yaklaşık değerini tahmin etmeleri istenir (OB4). İrrasyonel sayıların sayı doğrusu üzerindeki yaklaşık konumunun nasıl belirlenebileceği sorgulanır. Öğrencilerden hesap makinesi yardımıyla (MAB5) ondalık gösterimleri elde edilen irrasyonel sayının yaklaşık değerini kesme ve yuvarlama stratejilerini kullanarak belirlemeleri ve sıralamaları istenir.
Bu stratejileri kullanırken irrasyonel sayıların gerçek ve yaklaşık değerlerini ayırt edebilmeleri, yaklaşık değerin sağladığı kolaylıkları açıklamaları beklenir. Öğrencilere kareköklü bir ifadeyi a^ b biçimde yazma ve a^ b şeklindeki ifadede katsayıyı kök içine almaya yönelik çalışmalara değinilmeden rasyonel sayıların ve ondalık gösterimlerinin kareköklerine ilişkin örneklere yer verilir. Kök sembolünün tarihsel süreçte nasıl kullanıldığına ve irrasyonel sayıların keşfinde ^ 2 ‘nin rolüne ilişkin bir performans görevi verilebilir. Bu göreve ilişkin öğrencilerden rapor hazırlamaları istenebilir. Tam kare pozitif tam sayıların kareköklerini belirlemeye ve tam kare olmayan pozitif sayıların karekökünün yaklaşık değerine ilişkin açık uçlu sorulardan oluşan bir izleme testi kullanılabilir.
MAT.8.1.3
Öğrencilerin verilen sayıların rasyonel ve irrasyonelliğini değerlendirebilmede sayıların ondalık gösterimlerinden yararlanabileceklerini düşünmeleri önemlidir. Bunun için çeşitli sayıların ondalık gösterimleri bölme işlemi ya da hesap makinesi kullanılarak elde edilir (MAB5). Böylece öğrencilerden bazı ondalık gösterimlerin sonlu, bazılarının devirli sonsuz ve bazılarının ise düzensiz sonsuz biçimde yazılabildiğini fark etmeleri [örneğin 0,25; 0,3333…(0,3); 0,15555…(0,15); 6 (V36); 1,414213562373…(^2); 1,7320508075688…
(r 3)] ve birbirleri ile karşılaştırmaları istenir. Öğrencilerin bu karşılaştırma sonucunda
ondalık gösterimlerinde ondalık kısmı sonlu veya devirli olan sayıların biçiminde
yazılabildikleri yani rasyonel oldukları, ondalık kısmı düzensiz sonsuz olan sayıların ise -b- biçiminde yazılamadıkları yani irrasyonel olduklarına dair bir yargıda bulunmaları beklenir
(SDB3.3). Sayıların farklı temsillerinin sayıların değerini değiştirmeyeceğini (örneğin —2~
1 2 2 rasyonel sayısının 0,5 ; -^4 ; —4- biçimindeki temsillerinin sunulması) fark etmeye yönelik çalışmalara yer verilir. Verilen sayıların rasyonel veya irrasyonelliğini belirlemeye yönelik eşleştirmeli, doğru yanlış testleri ve açık uçlu sorulardan oluşan bir çalışma kâğıdı veya tanılayıcı dallanmış ağaç gibi araçlar kullanılabilir.
MAT.8.1.4
Öğrencilerden doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılardan oluşan bir grup sayıyı sayı doğrusuna yerleştirmeleri beklenir. Ardından “Sayı doğrusunun her noktasına bir rasyonel sayı karşılık gelir mi?”, “İrrasyonel sayılar sayı doğrusuna yerleştirilebilir mi?” gibi sorular yöneltilerek öğrencilerin tartışmaları sağlanır (SDB2.2). Bu noktada sayı doğrusu üzerinde bir doğal sayının aynı zamanda bir tam sayı ve rasyonel sayı olduğunu ifade etmeleri beklenir. Öğrencilerden “sayı doğrusunda rasyonel sayıların tüm noktaları dolduramadığı, bu nedenle boşluklar oluştuğu ve bu boşlukların irrasyonel sayılar ile doldurulabileceği” şeklinde açıklama yapması beklenir. İrrasyonel sayıların yaklaşık değerini tahmin eden öğrencilerden bu sayıların sayı doğrusu üzerinde yaklaşık konumunu belirlemeleri istenerek bir sayının hem rasyonel hem de irrasyonel sayı olamayacağını ve sayı doğrusundaki tüm sayıların rasyonel ve irrasyonel sayılardan oluştuğunu fark etmeleri beklenir. Böylece rasyonel ve irrasyonel sayıların tamamının gerçek sayılar olarak tanımlandığı ifade edilerek öğrencilerin “Sayı doğrusu üzerinde her noktaya bir ve yalnız bir gerçek sayı, her gerçek sayıya bir ve yalnız bir nokta karşılık gelir.” çıkarımına ulaşmaları sağlanır (E3.4). Gerçek sayıları sayı doğrusunda modelleyen öğrencilerin doğru üzerinde farklı iki nokta seçmeleri ve bu noktalar dâhil aralarında yer alan tüm gerçek sayıları nasıl ifade edeceklerini tartışmaları istenir (SDB2.2).
Eşitsizlik ile ilgili ön bilgiye sahip öğrencilerden seçtikleri noktalar (örneğin 2 ve 5 gerçek sayı olmak üzere) ile aralarındaki tüm gerçek sayıları hem sayı doğrusu üzerinde modellemeleri hem de sembolik temsil kullanarak (örneğin x gerçek sayı olmak üzere 2 < x < 5) (MAB3) ifade etmeleri beklenir. Ardından sayı doğrusu üzerinde iki farklı nokta arasında yer alan tüm gerçek sayıların bir aralık oluşturduğu açıklanır. Uç noktaların aralığa dâhil olma durumu ise “kapalı aralık” olarak adlandırılır ve [a, b] şeklinde temsil edilir. Bu noktada öğrencilere örneğin “[2, 5] aralığı içinde farklı bir gerçek sayı aralığı ifade edebilir misiniz?”, ya da “Bu aralıkta bir irrasyonel sayı var mıdır?” soruları sorulabilir. Ayrıca seçilen “İki uç noktadan sadece bir tanesi aralığa dâhil olsa ya da uç noktalar aralığa dâhil olmasa aralarındaki tüm gerçek sayılar nasıl ifade edilir?” sorusu yöneltilerek öğrencilerin tartışmaları sağlanır (SDB2.2).
Millî Eğitim Bakanlığı: https://meb.gov.tr
