5. Sınıf Matematik dersinin bu temasında öğrencilerin karşılaştığı problem durumlarında bir doğal sayının çarpan ve kat ilişkisine yönelik muhakeme yapabilmeleri, bölünebilme ile ilgili kriterlere ilişkin çıkarımda bulunabilmeleri ve bir doğal sayının asal olma durumunu ve asal çarpanlarını çözümleyebilmeleri beklenmektedir. Ayrıca temada iki doğal sayının ortak kat ve ortak bölenlerini çeşitli problemler üzerinden yorumlayabilmeleri ve temel aritmetik işlemler içeren durumlardaki süreci algoritma dilini kullanarak yorumlayabilmeleri amaçlanmaktadır.
Türkiye Fen Liseleri Taban Puanları için sayfamızı takip ediniz.
5. SINIF MATEMATİK DERSİ
1.Tema: Sayılar ve Nicelikler 2
ÖĞRENME ÇIKTILARI VE SÜREÇ BİLEŞENLERİ
MAT.5.1.3. Karşılaştığı problem durumlarında bir doğal sayının çarpan ve katlarına yönelik muhakeme yapabilme
a) Karşılaştığı durumlarda bir doğal sayının çarpan ve katlarına yönelik varsayımlarda bulunur.
b) Varsayımına yönelik örnek durumların içerdiği ilişkileri inceleyerek bir doğal sayının çarpan ve katlarına ilişkin genellemeleri belirler.
c) Elde ettiği genellemelerin varsayımını karşılayıp karşılamadığını çeşitli modellerle gösterir.
ç) Varsayımı ile ilgili ulaştığı sonuca yönelik doğrulayabileceği matematiksel bir önermeyi sözel ya da sembolik temsil ile sunar.
d) Farklı problemlerin pratik yoldan çözümüne yönelik oluşturduğu önermenin gerekçelerini sunar.
e) Önermenin geçerliliğini destekleyen kapsayıcı örnekler verir.
f) İşe koştuğu doğrulamanın benzer önermelere uygulanıp uygulanamayacağını değerlendirir.
MAT.5.1.4. Bir doğal sayının 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile tam bölünebilme kriterlerine ilişkin
çıkarım yapabilme
a) Bir doğal sayının katlarını veya basamak değerlerini dikkate alarak 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10’a tam bölünebilme kriterleri ile ilgili varsayımlarda bulunur.
b) 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10’un katlarını ve basamak değerlerini inceleyerek genellemeleri belirler.
c) Elde ettiği genellemelerin, varsayımını karşılayıp karşılamadığını örnekler ile sınar.
ç) Bir doğal sayının 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile tam bölünebilmesindeki kriterlere ilişkin önerme sunar.
d) Bir doğal sayının 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile tam bölünebilmesindeki kriterlerin farklı durumlarda kullanışlılığını değerlendirir.
MAT.5.1.5. Bir doğal sayının asal olma durumunu ve asal çarpanlarını çözümleyebilme
a) Bir doğal sayının asal olup olmadığını ve asal çarpanlarını belirler.
b) Asal sayıların özelliklerini ve bir doğal sayı ile asal çarpanları arasındaki iliş¬kileri belirler.
MAT.5.1.6. Günlük yaşam problemleri ya da matematiksel durumlar üzerinden ortak kat
ve ortak böleni yorumlayabilme
a) Problemlerde ya da matematiksel durumlarda verilen iki sayının ortak katla¬rını ve ortak bölenlerini inceler.
b) İncelediği ortak kat veya ortak bölen ilişkilerini çizim, tablo ve sayı doğrusu gibi matematiksel temsillerle ifade eder.
c) İki sayının ortak katlarını ve ortak bölenlerini kendi ifadelerini kullanarak açıklar.
MAT.5.1.7. Temel aritmetik işlem içeren durumlardaki algoritma dilini yorumlayabilme
a) Temel aritmetik işlem içeren durumlardaki algoritmik yapıyı inceler.
b) İncelediği durumlardaki algoritmik yapıyı tablo temsiline veya aritmetik işlemlere dönüştürür.
c) Dönüştürdüğü algoritmik yapının içerdiği matematiksel ilişkileri sözlü olarak ifade eder.
Öğretme-Öğrenme
MAT.5.1.3
Uygulamaları Çarpan ve kat kavramlarına girişte grup çalışması yapılabilir ve gruplara günlük yaşam durumlarından hareketle çeşitli problemler sunulur (Dikdörtgen şeklinde alanı bilinen bir okulun bahçesini çevreleyen duvarın uzunluğunun en küçük ve en büyük değeri gibi). Bu örneklerde öğrencilerin doğal sayıların çarpan ve katlarını açıklamaları ve bu kavramlara ilişkin varsayımlarını ifade etmeleri beklenir. Bu süreçte öğrencilerden ürettikleri varsayımları sınıfa sunmaları istenir. Örneğin “Çarpanlar sonludur, katlar ise ardışık sıralanır.”, “Katlar sonsuzdur.” gibi varsayımlar ortaya çıkabilir. Bu varsayımların üretilmesinde grup üyelerinin birbirinin varsayımlarını sorgulaması (E3.9, SDB2.2) sağlanabilir. Çeşitli varsayımlarda bulunan gruplar inceledikleri örneklere dair ilişkileri de belirleyerek “Bir sayının çarpanlarını bulmak ile bölenlerini bulmak aynı anlama gelmektedir.” gibi bir genellemede bulunabilirler. Gruplar tarafından doğal sayıların çarpanlarına ve katlarına yönelik çeşitli örnekler üzerinden genellemelerinin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığı incelenerek çarpan ve kat kavramları arasındaki ilişki açıklanır. Yapılan çalışmalar sonucunda grupların “Her doğal sayı herhangi iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazılabilir.”, “Bir doğal sayının en küçük doğal sayı böleni 1’dir.”, “Sıfır hariç bir doğal sayının en büyük doğal sayı böleni kendisidir.” gibi önermelerde bulunmaları beklenir. Öğrencilerden ifade ettikleri önermelerin hangi konularda (denk kesir, dikdörtgenin alanı, çevresi gibi) pratiklik sağladığına dair açıklama yapmaları ve gerekçelendirmeleri sağlanır. Aynı zamanda bu kavramların yaşamda nerelerde karşılarına çıktığına yönelik araştırmalarla (örneğin e-posta ve diğer dijital işlemlerin veri şifrelemesi gibi) öğrencilerde merak uyandırılabilir (E1.1). Grupların doğal sayıların çarpanlarına ve katlarına yönelik çeşitli temsiller (alan modeli ve yüzlük tablo gibi) kullanarak (MAB3) ulaştıkları önermelerin geçerliliğini destekleyen örnekler vermeleri istenir. Öğrencilerin kullandıkları doğrulamanın benzer önermeler için de uygulanıp uygulanmayacağına yönelik bir karar verme sürecini deneyimlemelerine fırsat verilir. Örneğin “İki doğal sayının çarpımındaki doğal sayılardan her biri o doğal sayının bir çarpa¬nıdır.” önermesinin doğruluğunu dikdörtgenin alan modeli üzerinden doğrulayan öğrencilerden, bu modelin ya da doğrulamada kullanılan farklı yöntemlerin başka hangi önermelerin doğrulamasında kullanılabileceğini değerlendirmeleri beklenir. Çarpan ve katlara yönelik açık uçlu sorulardan oluşan izleme testi kullanılarak öğrenciler değerlendirilebilir. Değerlendirme sonuçlarına dayalı olarak öğrencilere geri bildirim verilir.
MAT.5.1.4
Öğretme-öğrenme sürecinde bir doğal sayının 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile tam bölünüp bölünemediğinin belirlenmesine yönelik bir oyun oynanabilir. Örneğin öğrenciler ile öğretmenin yarıştığı bu oyunda belirlenen bir sayının 2, 5 ve 9’a tam bölünüp bölünemediği en hızlı şekilde hesaplanır (E2.5). Oyunda amaç öğrencilerin öğretmenin hızını yakalayamaması ve bu durumu merak etmesidir (E1.1). Öğretme-öğrenme sürecine tartışma ile başlanır. Öğrencilerin bir doğal sayının 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile tam bölünebilme kriterlerine ilişkin çıkarım yapabilmesi için kendi deneyimleri aracılığıyla çeşitli varsayımlar oluşturmaları teşvik edilir. Varsayım oluşturma sürecinde öğrencilerin bir doğal sayının neden 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile tam bölünebildiğine ilişkin açıklamalar yapmaları sağlanır (SDB2.1). Bu süreçte öğrencilerin bir yüzlük tablo üzerinde inceleme, bir örüntü ve tablo oluşturma ya da sayıların tüm katlarını listeleme yoluyla (E3.7, MAB3) elde edilen sayıları karşılaştırmaya, ardından sayılar arasındaki ortak ilişkileri (kat ilişkilerini, basamak değerleri ve basamaklardaki sayıların toplamı gibi) belirleyerek 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile tam bölünebilme kriterlerine ilişkin genelleme yapmaları beklenir. Örneğin öğrenciler 2 ve 5 ile bölünebilme kriterlerini incelerken 5’e bölünebilen çift sayıların 10’a da bölünebildiği gibi genellemeler yapabilirler (E3.6). Ardından öğrencilerin belirledikleri ortak ilişkileri farklı sayılar üzerinde deneyerek genellemelerinin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını sınamaları beklenir. Örneğin 10 ile bölünebilmede öğrenciler bir yüzlük tablo üzerinde 10’un katı olan sayıları belirledikten sonra farklı sayıları da inceleyerek genellemelerinin geçerliliğini göstermeleri için teşvik edilebilirler. Genellemelerini belirleyip bu genellemeleri örnekler üzerinde test eden öğrencilerden bir doğal sayının 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile tam bölünebilme kriterlerine ilişkin önermeler sunmaları beklenir. Örneğin öğrenciler “birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile tam bölünür” şeklinde önerme sunabilirler. Öğrencilerin bölünebilme kriterlerine ilişkin ortaya koydukları önermelerden yola çıkarak bölme işlemi yapmadan bu kriterlerin sağladığı kullanışlılığı fark etmeleri beklenir. Öğrencilerin süreç boyunca kazandıkları becerileri değerlendirmek amacıyla doğal sayıların 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile tam bölünebilme kriterlerine ilişkin tanılayıcı dallanmış ağaç hazırlanabilir. Ayrıca sınıf içinde öğrencileri değerlendirmek amacıyla çeşitli açık uçlu sorulardan oluşan izleme testleri kullanılabilir. Bu süreçte öğrencilerin ulaştığı çıkarımlar öğretmen tarafından gözlemlenerek gelişim raporu tutulabilir.
MAT.5.1.5
Asal sayılar ve bir doğal sayının asal çarpanlarının belirlenmesinde çeşitli temsiller (dikdörtgenin alanı, yüzlük tablo, asal çarpan algoritması, asal çarpan ağacı gibi) (MAB3) ya da sanal manipülatifler, çevrim içi dijital oyunlar ve hesap makineleri kullanılır (MAB5). Öğrencilere çeşitli asal sayılar verilip “Bu doğal sayıların çarpanları ile ilgili neler söyleyebilirsiniz?” şeklinde bir soruyla başlanarak öğrencilerin çeşitli temsiller (yüzlük tablo gibi) ve araçlar kullanarak bu sayıların çarpanlarını belirlemeleri, kullanılan temsiller ile çarpanları ilişkilendirmeleri istenir (OB4). Daha farklı çarpan çiftlerinin yazılıp yazılamayacağı sorulabilir. Öğrencilerden asal olan ve olmayan iki doğal sayıyı incelemeleri ve sayıların çarpanlarını bulmaları istenir. Bu süreçte grup çalışmasıyla [örneğin bir yüzlük tabloda Antik Yunan Dönemi’nde yaşamış Matematikçi Erathosthenes’in (Eratosten) adıyla bilinen kalbur etkinliğinin uygulanması] öğrencilerin asal sayıların sonsuza gittiğini fark etmeleri sağlanır. Öğrencilerden kendi asal sayı kalburlarını tasarlamaları istenebilir (E3.3). Bu etkinlikler üzerinden öğrencilerin asal sayıların özelliklerini keşfetmeleri ve tartışmaları beklenir (SDB2.2). Asal sayılar belirlendikten sonra öğrencilerden bir doğal sayının tüm çarpan listesini oluşturmaları ve asal olanları bulmaları beklenir. Bu süreçte asal çarpan algoritması ve asal çarpan ağacı gibi yöntemlerin kullanılması önerilebilir. Sınıf içi yapılacak tartışmalar sonucunda öğrencilerin “1’den büyük doğal sayılar ya asaldır ya da asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir.” gibi önemli noktaları açıklamaları beklenir. Öğrencilere asal sayılar ile ilişkili çeşitli konular üzerinden araştırma yapmalarını gerektiren performans görevi verilebilir. Çeşitli kaynaklardan araştırdıkları bilgiler arasında ilişkiler kurarak poster ya da sunum gibi özgün bir bütün oluşturmaları istenebilir (OB1, E3.3). Örnek araştırmalar öğrencilerde merak uyandırabilecek “İshango (İşango) kemiği nedir? Matematikte ne amaçla kullanılmıştır?”, “Eratosthenes kimdir? Matematikte ne gibi keşifler yapmıştır?” ve “Asal sayılar günlük yaşamda hangi alanlarda kullanılmaktadır?” gibi konular arasından seçilebilir (E1.1). Araştırma çalışmaları bireysel ya da grup olarak tasarlanabilir. Öğretmen grup çalışmalarını grup değerlendirme formu kullanarak değerlendirebilir. Öğrencilerin araştırma sonuçlarını tartışmaları istenir (SDB2.2). Bu süreçte öğrencilerin birbirlerini dinlemeleri (SDB2.1) istenir. Öğrencilerin hazırladıkları poster ya da sunum, kendileri ve arkadaşları tarafından öz ve akran değerlendirme formları (SDB2.3) ile değerlendirilebilir.
MAT.5.1.6
İki doğal sayının ortak bölenleri veya ortak katlarını bulmayı gerektiren problem bağlamlarının seçiminde öğrencilerin günlük yaşamlarında karşılaştıkları durumlar ve ilgilerini çekecek bağlamlar -tarım arazilerine eşit aralıklarla fidan dikme gibi- ele alınır. Ayrıca sokak hayvanlarına eşit büyüklükte paketler hazırlama gibi bağlamlar ile öğrencilere hayvanlar için şefkat göstermenin ve merhamet değerinin önemi vurgulanabilir (SDB2.3, D9.3). Bu süreçte en büyük ortak bölen (EBOB) ve en küçük ortak kat (EKOK) kavramlarına değinilmez. Öğrencilerin çevrim içi hesap makinelerinden, matematik yazılımından veya dijital oyunlardan (E2.5) yararlanmaları sağlanabilir (MAB5). Bu araçlar ile öğrencilerin kavramları sorgulamaları ve bunun sonucunda işlemlere ilişkin çok yönlü ve derin bir bakış açısı geliştirmeleri sağlanabilir.
Öğrencilerden problem bağlamları ya da matematiksel durumlar üzerinden iki doğal sayının ortak bölenlerini ya da ortak katlarını bireysel ya da grup çalışması ile incelemeleri beklenir (SDB2.2). Ortak böleni sadece “1” olan iki doğal sayının aralarında asal olma durumu tartışılır. Öğrencilerin ortak kat ya da ortak böleni inceleme sürecinde çeşitli temsiller (çizim, tablo ve sayı doğrusu gibi) kullanmaları (MAB3) ve bu temsiller üzerinden keşfettikleri ilişkileri açıklamaları istenir. İnceleme sürecinin sonunda tartışma ortamları oluşturularak çoklu çözüm yolları sınıfça tartışılabilir. Böylece her öğrencinin düşüncelerini özgürce ifade etmesi ve çeşitli görüşlere saygı duyması sağlanır, bu da etkili iletişim becerilerinin gelişimine katkıda bulunur (D14.1). İki doğal sayının ortak bölen ve ortak katlarına ilişkin günlük yaşam bağlamında öğrencilerin yorum yapmalarına olanak sağlayan açık uçlu sorular kullanılabilir. Elde edilen sonuçlara dayalı olarak öğrencilere geri bildirim verilir.
MAT.5.1.7
Algoritmanın ne olduğuna yönelik tartışmaların ardından temel işlemlere ait algoritmalar doğal dil, sözde (sahte) kod ve akış şeması üzerinde incelenerek başlanır. Sonrasında ise öğrencilerin ilgisini çekecek günlük yaşam ya da matematiksel bağlamlardaki algoritmalar ve algoritmaların yapısı incelenir. Örneğin marketteki bir ürünün 700 gramlık paket fiyatı girildiğinde 1 kilogramlık fiyatını veren algoritmalar seçilebilir. Bu incelemelerde öğrenciler tarafından hem matematiksel yapı hem de algoritma dili açıklanır. Seçilen bağlamlarda öğrencilerin algoritma dilini incelemeleri sağlanır. Örneğin bölmenin tekrarlı çıkarma anlamının kullanıldığı bir akış şemasında, verilen algoritmanın bir bölme işlemine ait olduğu, “başla” eyleminin hangi geometrik şekil ile ifade edildiği, algoritma içerisindeki tekrarlı olayın ne olduğu incelenir. Seçilen bağlamlarda incelenen sınıf düzeyine uygun algoritmaların tablo temsiline ya da aritmetik işlemlere dönüştürülmesi ve algoritmik yapının içerdiği matematiksel ilişkilerin sözlü olarak yeniden ifade edilmesi sağlanır. Öğrenciler verilen algoritmanın okunmasını gerektiren izleme testi ile değerlendirilebilir.
Değerlendirme sonuçlarına dayalı olarak öğrencilere geri bildirim verilir. Öğrencilerin bu tema kapsamındaki kavramlara, yaşadığı güçlüklere, kendini başarılı bulduğu konulara ilişkin bir öğrenme günlüğü tutmaları sağlanabilir. Öğrencilerin öğrenme günlükleri ürün dosyasına eklenebilir (SDB2.1).
İÇERİK ÇERÇEVESİ
Doğal Sayıların Çarpanları ve Katları:
Bir Doğal Sayının Çarpanları ve Katları Bölünebilme Kriterleri Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar Temel Aritmetik İşlemler ve Algoritma
Genellemeler
• Tüm doğal sayılar (sıfır hariç) 1 ve kendisine kalansız bölünür.
• Herhangi bir doğal sayının doğal sayı katları, bu sayının sayma sayıları ile çarpımıdır.
• Bir doğal sayının katları bu sayıya tam bölünür.
• Asal sayılar sonsuzdur.
• Ortak bölenler sonlu, ortak katlar sonsuz sayıdadır.
Anahtar Kavramlar
algoritma, asal çarpanlar, asal sayılar, bölünebilme, çarpanlar, katlar, ortak bölen, ortak kat
Millî Eğitim Bakanlığı: https://meb.gov.tr
